( E ) θ ( | + φ ( {\displaystyle \mathbb {E} [X]} P 6 {\displaystyle \varphi } {\displaystyle \mathbb {E} [X]=\sum _{k\geq 1}\mathbb {P} (X\geq k)\quad {\textrm {et}}\quad \mathbb {E} [X^{\alpha }]=\sum _{k\geq 1}\left(k^{\alpha }-(k-1)^{\alpha }\right)\mathbb {P} (X\geq k)} Si vous disposez d'ouvrages ou d'articles de référence ou si vous connaissez des sites web de qualité traitant du thème abordé ici, merci de compléter l'article en donnant les références utiles à sa vérifiabilité et en les liant à la section « Notes et références ». {\displaystyle X} P est un processus adapté à la filtration.. On parlera de sous-martingale si (|) ≥ et de sur-martingale si (|) ≤. X y 2 Il établit que, si dans un jeu, on a p chances de gagner la somme a pour q chances de gagner la somme b, il faut miser : {\displaystyle \varphi (0)=0} fX de loi de la variable On montre les propriétés suivantes : E(X+Y) = E(X) + E(Y) E(aX) = a E(X) , a = constante. = Y ) φ On définit l'espérance mathématique d'une variable aléatoire comme étant la somme des produits des valeurs d'une variable aléatoire par leur probabilité. k φ Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. L'espérance est une caractéristique importante d'une loi de probabilité : c'est un indicateur de position. Le poids d'un pain annoncé à 1 kg, par exemple, peut fluctuer autour de cette valeur. ≠ L'espérance joue un rôle important dans un grand nombre de domaines, comme dans la théorie des jeux pour minimiser les risques, en théorie du signal ou en statistique inférentielle où un estimateur est dit sans biais si son espérance est égale à la valeur du paramètre à estimer. + {\displaystyle \mathbb {E} (X)} ) Pourtant l'espérance de ce jeu vous est très favorable : la probabilité de tirer un double 6 est de 1/36 ; on obtient donc : 1 ( ) ) Exemple de calcul : ⋯ p ( P , = ( E X ( x E(X). ESPERANCE MATHEMATIQUE I.Définition et calcul de l'espérance mathématique d'une VA . ) Elle correspond à une moyenne pondérée des valeurs que peut prendre cette variable. y }, qui signifie que Ainsi, pour une variable aléatoire suivant cette loi, l'espérance est alors m 1 = (a + b)/2 et la variance est m 2 − m 1 2 = (b − a) 2 /12. 2 P φ Plutôt que de passer par une notion de prime, on peut directement établir une fonction d'utilité, associant à tout couple {gain, probabilité} une valeur. ( x k ! La variance d’une: ou . , et si ⋅ ( ⋅ 0 }}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(i\theta )^{k}}{k! = x Ce sont ces considérations et de risque de ruine qui conduisirent, à partir de son « paradoxe de Saint-Pétersbourg », le mathématicien Daniel Bernoulli à introduire en 1738 l'idée d'aversion au risque qui conduit à assortir l'espérance mathématique d'une prime de risque pour son application dans les questions de choix. 2 1 ω ) p {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} \left(\mathbb {E} (X|Y)\right)&=\sum \limits _{y}\mathbb {E} (X|Y=y)\cdot \mathbb {P} (Y=y)\\&=\sum \limits _{y}\left(\sum \limits _{x}x\cdot \mathbb {P} (X=x|Y=y)\right)\cdot \mathbb {P} (Y=y)\\&=\sum \limits _{y}\sum \limits _{x}x\cdot \mathbb {P} (X=x|Y=y)\cdot \mathbb {P} (Y=y)\\&=\sum \limits _{y}\sum \limits _{x}x\cdot \mathbb {P} (Y=y|X=x)\cdot \mathbb {P} (X=x)\\&=\sum \limits _{x}x\cdot \mathbb {P} (X=x)\cdot \left(\sum \limits _{y}\mathbb {P} (Y=y|X=x)\right)\\&=\sum \limits _{x}x\cdot \mathbb {P} (X=x)\\&=\mathbb {E} (X)\end{aligned}}}, E P ) L’espérance conditionnelle possède les propriétés suivantes L’espérance conditionnelle est linéaire : [+ |] = [|] + [|] Son espérance vaut : | μ θ E 2 {\displaystyle \varphi } ∑ x y n Nous donnons dans le théorème qui suit quelques propriétés permettant de simplifier le calcul de l'espérance conditionnelle : Théorème - Règles de calcul des espérances conditionnelles. x 0 P Elle se note E(X){\displaystyle \mathbb {E} (X)}et se lit « espérance de X ». X ) = respectives E(X) et E(Y) sont indépendantes on a : E(XY) = E(X)E(Y). S + = 2 E u En particulier, si X et 2a - X ont même loi de probabilité, c'est-à-dire si la loi de probabilité est symétrique par rapport à a, et si X admet une espérance, alors E(X) = a. Mais ce point de vue n'est plus valable lorsque la loi est dissymétrique. Espérance mathématique et choix rationnel. X le nombre réel noté E(X) défini par : x = ) + pas avoir d'espérance mathématique. | La notion d'espérance est popularisée par Christian Huygens dans son Traité du hasard de 1656 sous le nom de « valeur de la chance ». i k Soit une variable aléatoire discréte X supposée prendre Exemple de calcul Elle forme, avec la variance, indicateur de dispersion, l'ensemble des indicateurs qui sont presque systématiquement donnés quand est présentée une variable aléatoire. x = ) + ∫ > . ) − Elle se note ∞ x F ∈ p1 ( Donc . ∫ = E X θ Il s'agit de la fonction caractéristique d'une variable aléatoire. ω R = X ( ( ( ( {\displaystyle (F,\,{\mathcal {F}})} Fonction génératrice des cumulants. En théorie des jeux, une espérance nulle correspond à un jeu équitable. 1 ( = x 1 ) Ainsi, une variable aléatoire est dite centrée si son espérance est nulle. = = x2) Dans l'expression intégrale de Plus généralement, si φ {\displaystyle \varphi } est positive, continu… ( pour que le jeu soit équitable. ) x ( {\displaystyle \alpha =1} p qui correspond à l'espérance de cette expérience de lancer de dé. En pratique : Quelles sources sont attendues ? Variable discrète prenant un nombre fini de valeurs, Variable discrète prenant un ensemble dénombrable de valeurs, Généralisation : espérance d'une fonction d'une variable aléatoire, Cas d'une variable aléatoire réelle positive, Espérance mathématique et choix rationnel, Applications particulières (économie, assurance, finance, jeux), Lettre de Pascal à Fermat du 29 juillet 1654, citée et analysée dans, fonction caractéristique d'une variable aléatoire, Van rekeningh in spelen van geluck/Du calcul dans les jeux de hasard, 1656-1657, Index du projet probabilités et statistiques, Test de Fisher d'égalité de deux variances, Test T pour des échantillons indépendants, Portail des probabilités et de la statistique, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Espérance_mathématique&oldid=173680274, Article manquant de références depuis août 2011, Article manquant de références/Liste complète, Portail:Probabilités et statistiques/Articles liés, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence. En particulier, il est intéressant de considérer la variable aléatoire à valeurs complexes φ(X) = eiθX (où θ est un réel) dont l'espérance mathématique est la transformée de Fourier inverse de fX (dans le cas où φ − , p2 ∑ α Il formalise ainsi la notion d'espérance, qu'il nomme la valeur de ma chance et l'étend à d'autres domaines que la théorie des jeux. e Exemple : Le jeu de la roulette française consiste à lancer une petite bille sur une roulette contenant 37 cases. ( ) ) ) Si le jeu s'interrompt à un moment où chacun des deux joueurs a la même chance de gagner, il est équitable de répartir les 64 pistoles à parts égales entre chaque joueur, mais si la partie s'interrompt alors qu'un des joueurs a pris un avantage, la répartition doit se faire autrement. ( ( E , = P(X y Propriétés : Loi normale 2 X˜N 01; 3 N 01, EX = 0 = =m 0 4 N 01, VX = 1 2 = 1 4 P 1 96,– X 1 96, 0 95,= PX 0 PX 0 PX 0 PX 0 1 2 = = = = ---PX U = PX U PX U = = =PX U 1 – PX U 1 – PX U ∑ L'espérance d'une variable aléatoire constante est égale à cette constante ; par exemple, si, La notion de prime de risque appliquée à l'espérance mathématique fut en, L'espérance mathématique, comme d'autres concepts probabilistes, est utilisée dans les calculs d'évaluation en. Or et , d'après la définition d'une loi marginale. k ) X Pour toute constante , (trivial) Pour toute constante , (trivial) (démonstration hors programme) Démonstration Montrons d'abord que si et si existent, alors, aussi. = . }, Comme la somme des probabilités est égale à 1, l'espérance peut être considérée comme la moyenne des xi pondérée par les pi {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i}=c\,\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\dotsb \right).} En notant ses valeurs x1, ..., xn et p1, ..., pn les probabilités correspondantes, l'espérance devient : E X = ⋅ 36 x Y = ( 1 B Pour s'en persuader il suffit d'étudier le cas d'une loi géométrique, une loi particulièrement dissymétrique. ) ( i X Pour la variance, tu peux calculer l’intégrale de x²f(x) sur [2 ;4] en utilisant une méthode analogue. X [ X ∑ ( ∑ φ Dans ce cas une variable aléatoire peut trés bien ne M Dans ce cas, l’espérance mathématique se calcule de la façon suivante : la probabilité d’obtenir un 6 est 1 6; si vous gagnez, votre gain sera de 10 × 0, 50 $ × 1 6, soit environ 0,83 $; comme vous dépensez à chaque lancer une mise de 0,50 $, votre gain net sera de 0,33 $, soit : 0,83 – 0,50 = 0,33, en moyenne. {\displaystyle \varphi ^{\prime }} ) : ϕ 10 ) Si vous souhaitez plus d'informations sur l'Espérance mathématique : cliquez ici. ⋅ En théorie des probabilités, l'espérance mathématique d'une variable aléatoire réelle est, intuitivement, la valeur que l'on s'attend à trouver, en moyenne, si l'on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire. Il n'existe pas toujours d'espérance pour une variable aléatoire. {\displaystyle \varphi \circ X} L'espérance sert donc à prévoir la valeur moyenne obtenue pour la variable que l'on mesure si l'expérience est renouvelée un très grand nombre de fois. 2 Remarque On a également E ( … vers Espérance mathématique et choix rationnel. ≥ x = y E En effet, le poids d'un pain est soumis à des fluctuations aléatoires mais son espérance est fixée par la loi. ) x ) + 000 = x P α X On peut donc interpréter l'espérance comme la valeur moyenne que l'on peut "espérer" obtenir en répétant une exprérience aléatoire un nombre de fois assez grand. ∑ ( N(0 ; 1) : Propriétés de l'espérance mathématique E L'espérance mathématique est une valeur numérique permettant de mesurer le degré d'équité d'un jeu de hasard. ) Il doit donc récupérer 48 pistoles. Espérance mathématique d'une variable aléatoire X i F Un joueur mise une certaine somme M sur une des cases. suivant une loi normale 32 X P C’est un paramètre de dispersion qui correspond au moment centré d’ordre 2 de la variable aléatoire \(X\). ⋯ . ...... xn , .....avec les probabilités : {\displaystyle \mathbb {P} } F ) > = 64 {\displaystyle \mathbb {E} [X^{\alpha }]=\int _{0}^{+\infty }\alpha x^{\alpha -1}\mathbb {P} (X\geq x)\,\mathrm {d} x} = suivant une loi de Poisson de paramètre . ∑ θ P 0 ( ) ) , ..... ( ( , ( X ) p Bonjour J'ai fait cette exercice mais je ne suis pas sur de mes résultats, pouvez vous me les confirmer (ou pas) svp. g y 2 Imaginons par exemple qu'on vous fasse la proposition suivante : si vous arrivez à faire un double six avec deux dés, vous gagnez un million d'euros, sinon vous perdez 10 000 euros. aléatoire : = 6 B On appelle espérance mathématique de la variable aléatoire Christian Huygens, quant à lui, dans Du calcul dans les jeux de hasard de 1657[3] s’intéresse à la somme à miser pour que le jeu soit équitable. 1 m E [ f En général, l'opérateur espérance ne respecte pas les fonctions de variable aléatoire, c'est-à-dire qu'en général : E x . ) }, E ) + 1 X étant une variable aléatoire non nécessairement réelle, donc à valeur dans un espace mesurable i k X X On a Cependant, car et car . − − E 1 {\displaystyle \mathbb {E} \left(\varphi (X)\right)=\int _{F}\varphi (x)f_{X}(x)\mathrm {d} \mu (x). i {\displaystyle \mathbb {E} \left(\varphi (X)\right)=\sum _{i=1}^{n}\varphi (x_{i})p_{i}.}. p . à condition que l'intégrale soit absolument convergente. φ + ( α les valeurs possibles d'une variable aléatoire gravitent autour P ) | ( P [ P Espérance : indicateur de chance ou de risque moyen. X Dans le cas où la variable aléatoire possède une densité de probabilité, l'espérance est la moyenne des valeurs pondérées par cette densité. (on multiplie chaque gain par la probabilité de l'obtenir puis on fait la somme de tous ces produits). | Il est probable que vous refuserez de jouer. , ....., ) , on a , x3, p 0 Les propriétés de l'espérance mathématique démontrent facilement que l'espérance mathématique de la nouvelle variable est égale à 0 : Cette variable est la variable aléatoire centrée. Y D - Propriétés de l'espérance conditionnelle . = = ] × E(aX+bY) = a E(x) + b E(Y) , … p notée φ(x) dont l'espérance, lorsqu'elle existe, s'écrit en remplaçant x par φ(x) dans les formules précédentes (théorème de transfert). Cette moyenne était trop loin de l'espérance et indiquait une malversation du commerçant. P x ) Ω X ∫ 12 Propriétés de l'espérance et de la variance : les formules Précédent Suivant. Ω = = . Une chance sur un million de gagner un million peut donc valoir dans ce cas précis bien davantage qu'un euro. E La notion d'espérance prend forme au XVIIe siècle en théorie des jeux[réf. Définition Soit (;A;P) un espace de probabilité. Il envisage alors ce qu'aurait été le coup suivant : Pour Pascal, le joueur ayant misé sur P doit obtenir 32 pistoles à coup sûr mais a une chance sur deux de gagner 32 pistoles supplémentaires. X ( ( X = ∞ M ) y ≥ d ( {\displaystyle S=64\times {\frac {1}{2}}+32\times {\frac {1}{2}}} ( X E ∫ Y M x ) ) | ) d , Ce sont ces considérations de risque de ruine(Une ruine est le reste d'un édifice dégradé par le temps ou une destruction plus rapide. = x C'est notamment le cas quand S est fini. ⋯ + ⋅ 1 ( ≡ ) 6 E ( x . . ( α k p ) Variable continue : X P x Y Espérance d’une variable aléatoire positive 255 Pourjustifierl’existencede EX,oncommenceparnoterquel’application G: R 0,1 , t Gt: PX testdécroissantesur R ,doncRiemannintégrable sur 0,b pourtout b R ,cf.proposition3.10.L’intégrale b 0 Gtdt b 0 PX tdt P ( (   ) φ y ] ( q on appelle espérance mathématique de la variable aléatoire a = ( Cette formule est un des avatars de la formule d'intégration par parties, comme on le voit dans le cas particulier où la fonction de répartition de X est continument dérivable. P E Evelyn: Espérance mathématique dans le contexte des jeux. ⋅ [ E Lorsque l’espérance mathématique est négative (E < 0 E < 0), cela signifie qu’en moyenne, le joueur perdra de l’argent à chaque essai. On peut résumer ces trois propriétés en disant que l’espérance mathématique est linéaire: E(λX + μY) = λE(X) + μE(Y), ∀λ ∈ R, ∀μ ∈ R. ∫ [ 0 Dans ce cas une variable aléatoire X peut trés bien f , x3, {\displaystyle m=1\cdot {\frac {1}{6}}+2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot {\frac {1}{6}}+4\cdot {\frac {1}{6}}+5\cdot {\frac {1}{6}}+6\cdot {\frac {1}{6}}=3,5.} : Si deux variables X et Y d'espérances mathématiques 18 ) {\displaystyle \mu =\int x\,f (x)\,\mathrm {d} x\,} La variance d'une variable aléatoire continue X peut aussi se calculer de la façon suivante : V ( X ) = ∫ x 2 f ( x ) d x − μ 2. + q ∘ ∞ ( ( à condition que cette somme soit absolument convergente. ( est positive, continument dérivable, croissante sur = ) Si la variable X prend une infinité dénombrable de valeurs x1, x2, ..., avec les probabilités p1, p2, ..., l'espérance de X est définie comme φ Afficher les propriétés Répondre. E 6 n Propriétés. En théorie des probabilités, l'espérance mathématiqued'une variable aléatoire réelleest, intuitivement, la valeur que l'on s'attend à trouver, en moyenne, si l'on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire. X 3 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite : L'espérance mathématique de X est E\left(X\right)=0 (loi centrée) ; La variance de X … α X E(X + Y) = E(X) + E(Y), X et Y étant deux variables aléatoire. b Linéarité de l'espérance mathématique ( Imaginons par exemple qu'on vous fasse la proposition suivante : si vous arrivez à faire un double six avec deux dés, vous gagnez un million d'euros, sinon vous perdez 10 000 euros. ) 1 ( φ Il imagine ainsi un jeu de pile ou face et un pot commun de 64 pistoles, le premier joueur à voir apparaître trois fois la face qu'il a choisie remporte la mise. = , x α ) ) 1 i 1 x Plus généralement, si E d En effet, la notion de hasard empêche de prédire le résultat d'une seule expérience aléatoire mais la loi des grands nombres permet de mieux maitriser le résultat si on exécute un grand nombre d'expériences aléatoires de même type. Pour n ≥ 2, le n-ième cumulant de la loi uniforme sur l'intervalle [0, 1] est b n /n, où b n est le n-ième nombre de Bernoulli. ) 000 ( = Y E F ] ) ⋅ ( ) ∑ 44, avenue de la Libération BP 30687 54063 Nancy Cedex - France Les anticipations rationnelles sont désormais les plus couramment utilisées en économie. ) ∞ + Soit X une variable aléatoire de l'espace probabilisé x dans ) ( L'espérance est fortement liée à l'idée de moyenne. x { On utilise souvent comme estimateur de l'espérance la moyenne empirique, qui est un estimateur: On considère fréquemment l'espérance comme le centre de la variable aléatoire, c'est-à-dire la valeur autour de laquelle se dispersent les autres valeurs.

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